“Nadie educa a nadie, ni nadie se educa a sí mismo, sino que todos nos educamos, mediados por el mundo”

(Paulo Freire. 1921-1997) 

Como lo expresa Fidel Oteíza en “Modelo Interactivo Para el Aprendizaje Matemático” (Oteíza et al 2004):

“En el Modelo Interactivo el aprendizaje lo realiza la persona que aprende en interacción con su medio. El foco, el centro está en una persona, en la persona que aprende; el resto, lo que hace el educador, lo que representan sus pares, lo que proveen los textos o los recursos para el aprendizaje, la comunidad a la que pertenece, su familia y en general, su entorno completo, lo que será percibido y conceptualizado desde ese centro, desde ese foco. Lo que se puede lograr desde fuera de la persona que aprende, es la organización de las experiencias que puede tener en la interacción con ese entorno: esa es la responsabilidad central de quienes organizan y realizan el acto educativo”.

El modelo de aprendizaje pone especial atención en la organización de las experiencias: ¿Cómo se organiza el medio para facilitar las interacciones adecuadas o efectivas entre el que aprende y lo que se espera que aprenda?

“Las interacciones entre el estudiante y sus pares, sus educadores, el conocimiento, los medios de los que dispone para aprender, la comunidad a la que pertenece, su entorno familiar y social, son los elementos en los que se juega el acto de facilitación de los aprendizajes. Es en este espacio de relaciones donde se da el proceso educativo completo, la formación de valores, la interrelación entre la Matemática y otras áreas del conocimiento, la educación afectiva y de las emociones, en general, el conjunto de aprendizajes que definen el desarrollo de la persona” (Oteíza et al. 2004).

El Modelo Interactivo se desarrolla en un contexto en donde sus elementos principales otorgan un telón de fondo a un conjunto de principios orientadores sobre los cuales se construyen los elementos centrales del Modelo.

El Modelo Interactivo busca facilitar la puesta en práctica de las Bases Curriculares de la asignatura de Matemática. Esto implica asumir como insumo básico las prescripciones curriculares dadas por los Objetivos de Aprendizaje y sus modalidades de evaluación. A partir de ello, asumir los siguientes desafíos de innovación y mejoramiento.

Transitar de un currículo de marcado carácter formal (sintáctico / estático) a otro de carácter práctico (semántico / dinámico). De este modo, el acento puesto durante mucho tiempo sobre los objetos y las reglas que deben satisfacer, se desplaza a comprender y manejar las variaciones de esos objetos en el espacio en que se dan.

• Pasar de un énfasis en la resolución de ejercicios al estudio de fenómenos. Estos fenómenos darán origen a situaciones intra o extra matemáticas que servirán de marco, motivación y espacio de estudio de los modelos de que dispone la Matemática para comprender o explicar esos fenómenos.

• Avanzar de la pericia en el manejo formal de los objetos matemáticos a la utilización de instrumentos matemáticos en el estudio y resolución de situaciones problema.

• Avanzar de la pericia en el manejo formal de los objetos matemáticos a la utilización de instrumentos matemáticos en el estudio y resolución de situaciones problema.

• Pasar del estudio de casos particulares a la búsqueda de modelos que describen situaciones generales.

• Transitar desde el trabajo con incógnitas, al estudio de variables, con énfasis en el estudio de las variaciones.

• Si lo esencial del currículum anterior eran las ecuaciones (expresiones algebraicas), ahora lo central son los modelos. Esto supone pasar del trabajo a partir de expresiones algebraicas a la explicación de fenómenos que son factibles de representar por medio de algún modelo matemático.

El Modelo Interactivo nació de la investigación como fuente de evidencia para diseñar y organizar experiencias y programas de innovación para el mejoramiento escolar. Su aplicación en cientos de Liceos permitió validar experiencias exitosas; también identificar, corregir o desechar aspectos negativos o parcialmente defectuosos.

En su versión actual, su origen como proyecto I+D marca su vocación de auto entenderse como un instrumento en constante revisión sistemática y mejoramiento en contextos colaborativos.

El Modelo Interactivo se orienta a través de 12 principios

1. Calidad y pertinencia del conocimiento: La calidad y pertinencia del conocimiento matemático y del conocimiento didáctico, deben ser de la más alta calidad, cuidando una correcta transposición didáctica en la propuesta curricular.
2. Inclusión (o de todos incluidos): Los resultados del proceso de creación curricular, deben velar por entregar soluciones para todos los estudiantes, independientemente de sus antecedentes escolares o socio-económicos. Además, de allanar su uso por docentes interesados, independiente de su formación y experiencia.
3. Concepción del aprendizaje: La investigación en neurociencia actual, ha arrojado muchas luces acerca de cómo se produce realmente el aprendizaje en los individuos, a pesar de que aún queda mucho camino por recorrer para poder explicar en forma satisfactoria estos complejos procesos. Una propuesta de desarrollo curricular que plantea una determinada forma de lograr aprendizajes no puede ser ajena e inconsistente con estos hallazgos.
4. Claridad de los contratos: Tanto en su gestación, prueba e implementación, los recursos curriculares son el fruto de la actuación de muchas personas, pertenecientes a instituciones y especialidades diferentes. Es indispensable que los actores tengan plena conciencia y claridad de los procesos, resultados y responsabilidades en esos procesos. También los procedimientos deben generar contratos claros y precisos a la hora de su aplicación. Profesores, directivos docentes, alumnos, apoderados y otros miembros de las comunidades docentes, deben conocer los términos generales de los acuerdos y saber qué esperar de la aplicación de los productos del proyecto.
5. Construcción y reconstrucción: Aceptamos que el conocimiento es una construcción humana; para su aprendizaje, los actores -en un sentido muy real- lo “reconstruyen”. Un material de enseñanza, una situación de enseñanza diseñada es una base para la reconstrucción que de esa situación hará el profesor o la profesora. Y, en un tercer nivel, el programa y los instrumentos para su aplicación, deben ser una construcción conjunta entre docentes de aula y especialistas.Luego, los productos deben facilitar la construcción del conocimiento en los estudiantes; en su aplicación, acompañar a los docentes en el proceso de apropiación y recreación de la innovación, y en su gestión, seguir los pasos y procedimientos propios de un enfoque sistémico aplicado a la generación de material de enseñanza.
6. Mediación e interactividad: Los productos resultantes de este proceso buscan enriquecer la mediación del aprendizaje. El docente tiene, en este sentido, el rol de generar un espacio en el que sus alumnos puedan aprender a partir de un proceso de construcción. El objetivo es la creación de un espacio enriquecido en que se aliente la interacción entre el estudiante y los objetos de estudio, los estudiantes entre sí, los estudiantes y su profesor, y también, la interacción entre todos esos personajes y la realidad en la que viven. La operacionalización de este principio es una marca distintiva de los ambientes en que el programa es utilizado.
7. Enfoques múltiples: La experiencia ha entregado abundante evidencia acerca del valor y la efectividad de ofrecer a los estudiantes múltiples enfoques para los aprendizajes deseados. La generalización, proceso básico en la Matemática, se fundamenta en la extracción de lo común en la multiplicidad. Los trabajos de Howard Gardner muestran que, además, se posibilitan caminos a quienes muchas veces han estado fuera de la comprensión de las vías preferentes de entrega de conocimiento.
8. Modelaje: Es reconocido el potencial que tiene la acción de modelar en el aprendizaje de la Matemática. Una de las mayores contribuciones que la disciplina ha hecho en el campo del conocimiento, proviene de la capacidad de los modelos matemáticos para formalizar procesos y sistemas en los más diversos campos de la acción humana; los modelos matemáticos son instrumentos poderosos para describir y comprender el comportamiento de sistemas y situaciones complejas. Por otra parte, el proceso de generar y validar modelos, ofrece un amplio espacio para la construcción de conocimiento en quien aprende: “modelar -dice la introducción del Proyecto Mathematics: Modeling Our World- es aprender a aprender” (Solomon y Garfunkel, 2000).
9. Cierre y/o formalización: Los modelos y la contextualización del conocimiento matemático, son palancas poderosas para el aprendizaje. La necesidad de llegar al conocimiento abstracto, recontextualizado en la Matemática también es crucial. Se busca que la actividad desplegada por el estudiante, la búsqueda de respuestas a problemas abiertos, la creación de soluciones, culmine con el cierre, la comprensión de los procesos y resultados a la luz del análisis crítico; ese cierre al que se refiere la escuela sicológica de la Gestalt.
10. Evaluación: Son los materiales y procedimientos a través de los cuales se facilita el aprendizaje, los que deben ser objeto preferente de la evaluación. Si no enseñan, si no facilitan aprendizajes de calidad y para todos, los materiales, procedimientos y prácticas deben ser revisados y mejorados de modo que cumplan con este objetivo. Si se desea que la educación signifique desarrollo para todas las personas, es indispensable repensar y remodelar la relación entre enseñanza y evaluación, entre selección de los mejores y el cultivo de todos los talentos.
11. Aproximaciones sucesivas y redes de apoyo: Este principio apunta al corazón del proceso de creación curricular. Detectar la situación problemática, analizar las variables que intervienen, diseñar una solución o varias, poner a prueba, observar los resultados y corregir y/o optimizar, es el núcleo del proceso. “Equivóquese pronto y empiece a corregir”, es una verdad pragmática bien conocida en desarrollo curricular. En el sistema educativo, la posibilidad real e interesante de poner en práctica ese ciclo, pasa por la creación de redes de confianza sostenidas en el tiempo.
12. Replicabilidad o consistencia de resultados: Por último, se trata de buscar soluciones que produzcan su efecto en forma consistente e independiente de sus autores. El principio habla del necesario “destete” de los productos y de su capacidad de comunicación.

Los elementos básicos, las piezas o ladrillos que componen el modelo son: el conocimiento matemático, el estudiante, el profesor, el espacio de aprendizaje (la sala de clases), el material de aprendizaje (libros, juegos, guías, material manipulativo, etc.).

El Modelo se estructura a partir de seis elementos centrales:

1. El conocimiento matemático

El conocimiento matemático es una construcción humana, en constante desarrollo, cuyas componentes han sido respuestas a problemas, desafíos y necesidades de explicación de fenómenos, hechos o situaciones conflictivas, conocimiento que ha tenido diferentes formulaciones, correcciones y niveles de abstracción a lo largo de la Historia.

El análisis de la concepción del conocimiento matemático que sustenta el modelo, propone una serie de cambios de énfasis que se describen en el siguiente listado:

• De un conocimiento, que en la práctica aparece como aislado, a un conocimiento contextualizado, así como temporal y espacialmente ubicado.
• De un conocimiento construido (acabado), a un conocimiento por hacer o en construcción.
• De un conocimiento que se entrega o se “deposita” en el estudiante, a un conocimiento que es buscado por el que aprende.
• De un conocimiento formal o formalmente expresado, a un conocimiento expresado en las palabras del estudiante.
• De un conocimiento estable en el tiempo, a un conocimiento que cambia.
• De un conocimiento ajeno para el que aprende, a un conocimiento apropiable y con significado para el estudiante.
• De un conocimiento contenido en los textos, a un conocimiento contenido en la vida, la cultura y… también en los textos.
• De un conocimiento eminentemente intelectual, o que sólo apela a la razón, a uno que se expresa en cuatro componentes: valoraciones, comprensiones, sentimientos y acciones.
• De un conocimiento en el que existe una respuesta correcta, a un conocimiento abierto que admite alternativas y que permite evaluar la calidad de una solución.
• De un conocimiento centrado en una disciplina, a uno que acepta tensiones desde campos diferentes.

2. El estudiante y su rol protagónico en el aprendizaje

Uno de los problemas que evidencia la forma usual en que se desarrolla el aprendizaje en una sala de clases, es el rol pasivo que asumen los estudiantes. Esto tiene efectos importantes, tanto en los resultados, como en la posibilidad de mantener un ambiente razonable y apropiado que capture la atención de la mayoría de los estudiantes. En este sentido, uno de los cambios profundos que el modelo propone es acerca de la concepción pasiva del estudiante respecto de su aprendizaje.

Cambios de énfasis acerca del estudiante y su rol:

• De un alumno que entiende la lección, a un alumno que produce.
• De un joven que copia de la pizarra, a uno que elabora conocimiento.
• De un alumno que escucha o atiende, a uno que escucha, atiende y busca información.
• De un alumno que llega a la sala de clases o al liceo a esperar órdenes, a un joven que planifica su trabajo.
• De un alumno que hace tareas para un profesor, a uno que trabaja en lo propio.
• De un alumno que entrega tareas o da pruebas, a uno que informa acerca de avances, logros, dificultades y resultados.
• De un alumno que debe ser moldeado según patrones preestablecidos, a uno que crece de acuerdo con su naturaleza, en diálogo con otros, incluidos los adultos de la institución escolar y en conocimiento de patrones deseables.
• De un alumno del que se esperan respuestas, a uno que formula preguntas y procedimientos para responderlas.
• De un alumno que en las evaluaciones repite lo que le enseñaron, a uno que informa acerca de sus logros.
• De un alumno que aprende de los libros, a uno que interroga a la naturaleza, la cultura (los libros, por ejemplo) y a la vida misma.
• De un alumno que aprende contenidos, a uno que aprende procesos, control de procesos, expresión de procesos y… también contenidos.
• De un alumno que posiblemente confía en su profesor, a uno que construye confianza en sí mismo, sobre una base objetiva de esfuerzo, resultados y exposición de su trabajo.

3. El profesor (o profesora) como agente mediador del aprendizaje

Si bien el aprendizaje es un proceso interno que ocurre en el estudiante, el responsable último de organizar la situación de modo de maximizar las posibilidades de que dicho proceso ocurra, sin lugar a dudas, es el profesor. Los perfiles con los que se busca caracterizar la forma de actuar del docente sustentado por el modelo, son un jefe de proyectos, un entrenador y un facilitador de los aprendizajes.

Cambios de énfasis en el rol del profesor que media en el aprendizaje del estudiante:

• De un docente que es un modelo de conocimiento, a uno que es un modelo de complejidad cognitiva y desarrollo personal.
• De un docente que hace clases a un jefe de proyectos.
• De un docente que es una autoridad, a un estudiante que va más adelante.
• De un docente que dice qué hacer, a uno que formula preguntas.
• De un docente que explica, a uno que observa con interés el trabajo de sus alumnos.
• De un docente que pide respuestas, a uno que da apoyo y es recurso para sus estudiantes.
• De un docente que dicta, a uno que propone alternativas.
• De un docente que premia o castiga, a uno que reconoce logros, apoya en las dificultades, alienta la originalidad y estimula la capacidad crítica.
• De un profesor que responde correcto o incorrecto, a uno que estimula la metacognición, la comprensión de procesos de pensamiento, la aceptación de sentimientos y apoya la capacidad para expresarse en esas áreas.

4. El material de enseñanza como soporte para la acción educativa

La forma que propone el modelo para hacer posible la actuación del docente acorde con los principios y recomendaciones dadas hasta ahora es a través del material de enseñanza especialmente diseñado y probado. En este contexto, entenderemos por material de enseñanza a las ayudas y soportes externos a la explicación del profesor, que permiten a los estudiantes una mejor aproximación a la apropiación de una noción matemática abstracta. Por ejemplo: guías de enseñanza, posters, representaciones gráficas, material manipulativo, manipulativos virtuales, software.

A continuación, se caracteriza el tipo de material de enseñanza que el modelo sugiere:

• El material debe estar diseñado de modo que los estudiantes trabajen solos y en grupo.
• Que relaciona el conocimiento y los conceptos matemáticos involucrados con situaciones problemáticas en las que pueden ser aplicadas, apelando a la imaginación de ellos.
• Haga uso extensivo de representaciones gráficas con propósitos diversos. Por ejemplo, se usa la gráfica para motivar, para sostener una idea, cálculo o concepto o ilustrar una situación problemática y dar pistas para su solución.
• Otra noción importante es que se preste para que el profesor complemente el soporte gráfico con materiales manipulativos.
• Acorde con la idea de un estudiante que explora situaciones, el material debe provocar discusión entre los estudiantes, planteando situaciones abiertas (abiertas en el sentido de admitir más de una respuesta o más de una interpretación).
• El material debe proponer actividades en las que los estudiantes puedan inventar sus propias preguntas y problemas y alentar discusiones en torno a ellos.
• También debe permitir relacionar lo que están aprendiendo los estudiantes con actividades cotidianas que ellos realizan en su hogar o comunidad.
• Desde el punto de vista de la expresión del aprendizaje, es crucial que el material relacione la resolución de problemas con estrategias de lectura, de escritura y de expresión gráfica, en suma, de comunicación de resultados.
• Debe contemplar situaciones con información redundante y con información insuficiente, preparando al estudiante en la selección y búsqueda de información relevante, condición necesaria para lograr el desarrollo de capacidades para el aprendizaje independiente.
• Por último, un valor agregado que ofrece un material bien diseñado al profesor, es ampliar las oportunidades para observar el comportamiento de sus alumnos mientras aprenden, lo que es difícil realizar cuando es el profesor quien tiene toda la responsabilidad de “pasar la materia” y lograr que sus estudiantes aprendan.

5. La situación de enseñanza: la atmósfera de trabajo deseada

La mediación se da en un ambiente psicológico. Este puede ser el resultado inconsciente de las acciones del educador y de las interacciones interpersonales que se den en la situación de mediación, o puede ser motivo de las decisiones conscientes que el educador adopte.

Así, el aprendizaje se produce en un ambiente, en un clima organizacional. Cada docente tiene responsabilidades explícitas en ese clima, y el resultado es el efecto de una actuación de la comunidad educativa completa.

Influidos por la experiencia de Polain (1977) que logró un establecimiento educativo en el que importantes valores y “objetivos transversales” fueron parte integral de la vida cotidiana, concordamos con lo que ese autor considera la base de un clima adecuado para el aprendizaje, la confianza, la existencia de un clima de confianza.

Un ambiente de confianza tiene ciertos valores concomitantes: hacerse cargo, lealtad, veracidad, responsabilidad y respeto. Se trata de un ambiente muy exigente; la imposición de la autoridad es más simple y supone mucho menos desarrollo de parte de todos los participantes.

Los cambios de énfasis para concreta la situación de enseñanza buscada por el Modelo Interactivo son:

• De una situación de enseñanza, a una de investigación.
• De una clase expositiva, a la realización de proyectos.
• De una situación que busca como resultado notas, a una situación que facilita la generación de productos de naturaleza variada.
• De un ambiente de sala de clases, a uno de taller o laboratorio.
• De una situación en la que los recursos son el cuaderno, la pizarra y, ocasionalmente, el texto, a una en la que existen abundantes recursos de aprendizaje, material de enseñanza, libros, computadores, en fin, aquello que facilita el contacto directo del estudiante con el conocimiento.
• De un grupo curso, a equipos de investigación.
• De un tiempo medido en horas de clases, a un tiempo negociado según intereses, planificación y avances.
• De una situación que prepara exámenes, a una que permite preparar exposiciones u otras formas de exponer los resultados y productos del trabajo de los jóvenes.

6. La evaluación del aprendizaje matemático

El modo en que se evalúa incide, de un modo decisivo, en el sentido que el conocimiento adquiere para el niño y para el joven, así como en las percepciones que ellos desarrollan acerca de sí mismos y acerca de su potencial de aprendizaje matemático. Las actitudes hacia la Matemática, la escuela y el aprendizaje, también se ven afectadas por la forma en que se realiza la evaluación. Además, la evaluación tiende a determinar el currículo real: “es importante lo que se evalúa, lo que ‘entra’ para la prueba”. En muchos casos, la evaluación reemplaza la motivación intrínseca. En efecto, es frecuente que se estudie por motivaciones externas, principalmente por las calificaciones o por los efectos de esas calificaciones.

El Modelo Interactivo más que determinar una nota busca determinar:

• El potencial de aprendizaje (¿cuánto es capaz de aprender un alumno?).
• La capacidad para resolver problemas.
• La capacidad para comunicar lo aprendido (es en la expresión de nuestro pensamiento cuando
• la formalización se produce y se apela a la memoria profunda).
• El razonamiento (¿cómo lo pensó?, ¿qué aspectos correctos tiene esa forma de pensar?).
• Los conceptos y procedimientos utilizados.
• La actitud hacia la Matemática.

Cambios de énfasis buscados acerca de la evaluación de los aprendizajes suponen poner más atención a:

• Comprobar qué saben los alumnos y cómo razonan acerca de los temas en estudio.
• Considerar la evaluación como parte integrante de la docencia.
• Centrarse en una gama amplia de tareas y adoptar una visión global del objeto de estudio.
• Utilizar técnicas y fuentes múltiples de evaluación, incluyendo informes escritos y orales, exposiciones, archivadores y la demostración de las capacidades aprendidas (desempeño).
• Utilizar en la evaluación diversos materiales, según la especialidad, incluidos calculadoras y computadores.
• Determinar el valor de un programa, recolectando información sobre resultados, currículo, materiales, relación pedagógica y docencia.
• Facilitar que el alumno reconozca sus fortalezas.
• Desarrollar un lenguaje que permita expresar formas de razonar y sentimientos.

Y poner menos atención a:

• Comprobar lo que los alumnos no saben.
• Considerar la evaluación simplemente como un recuento de respuestas acertadas de un examen con el único propósito de poner una nota.
• Centrarse en un gran número de destrezas específicas y aisladas organizadas como contenido /actuación.
• Utilizar ejercicios o enunciados que requieren de pocas destrezas.
• Utilizar exclusivamente pruebas escritas.
• Utilizar ejercicios o preguntas que muestren los contenidos descontextualizados.
• Excluir de la evaluación materiales, situaciones, calculadoras y computadores.
• Valorar el programa basándose exclusivamente en la puntuación de exámenes.
• Utilizar sólo pruebas normalizadas.